《明史·卷八》

历二

▲大统历法一上(法原)

造历者各有本原,史宜备录,使后世有以考。如《太初》之起数钟律,《大衍》之造端蓍策,皆详本志。《授时历》以测算术为宗,惟求合天,不牵合律吕、卦爻。然其法所以立,数之所从出,以及晷影、星度,皆有全书。郭守敬、齐履谦传中,有书名可考。《元史》漫无采摭,仅存李谦之《议禄》、《历经》之初稿。其后改三应率及立成之数,与夫割圆弧矢之法,平立定三差之原,尽削不载。使作者精意湮没,识者憾焉。今据《大统因通轨》及《历草》诸书,稍为编次,首法原,次立成,次推步。而法原之目七:曰句股测望,曰弧矢割圆,曰黄赤道内外度,曰白道交周,曰日月五星平立定三差,曰里差刻漏。

▲句股测望

北京立四丈表,冬至日午正,测得景辰七丈九尺八寸五分。随以简仪测到太阳南至地平二十六度四十六分半,为半弧背。求得矢度,五度九十一分半。置周天半径,截矢余五十四度九十六分为股,乃本地支戴日下之度。以弦股别句术,求得句二十六度一下七分六十六秒,为日出地半弧弦。

北京立四丈表,夏至日午正,测得景长一丈一尺七寸一分。随以简仪测到太阳南至地平七十四度二十六分半,为半弧背。求得矢度,四十三度七十四分少。置周天半径,截矢余一十七度一十三分二十五秒为句,乃本地去戴日下之度。以句弦别股术,求得股五十八度四十五分半,为日出地半弧弦。

以二至日度相并,得一百度七十三分,折半得五十度三十六分半,为北京赤道出地度。以赤道出地度转减周天四之一,余四十度九十四分九十三秒七十五微,为北京北极出地度。

▲弧矢割圆

周天经一百二十一度七十五分少。(少不用。)半径六十零度八十七分半。(又为黄赤道大弦。)二至黄赤道内外半弧背二十四度。(所测就整。)二至黄赤道弧矢四度八十四分十二秒。黄赤道大句二十三度八十分七十秒。黄赤道大股五十六度零二分六十八秒。(半径内减去矢度之数。)

割圆求矢术

置半弧度自之,为半弧背幕,周天径自之,为上廉。上廉乘半弧背幕,为正实。上廉乘径,为益从方。半弧背倍之,乘径,为下廉。以初商乘上廉,得数以减益从方,余为从方。置初商自之以下廉,余以初商乘之,为从廉。从方、从廉相并,为下法。下法乘初商,以减正实,实不足减,改初商。实有不尽,次第商除之。倍初商数,与次商相并以乘上廉,得数以减益从方,余为从方。并初商次商而自之,又以初商自之,并二数以减下廉,余以初商倍数并次商乘之,为从廉。从方、从廉相并,为下法。下法乘次商,以减余实,而定次商。有不尽者,如法商之,皆以商得数为矢度之数。(黄赤道同用。)

如以半弧背一度求矢。术曰:置半弧背一度自之,得一度,为半弧幕。置周天径一百二十一度太自之,得一万四千八百二十三度零六分二十五秒,为上廉。上廉乘半弧背幕,得一万四千八百二十三度零六分二五,为正实。上廉又乘径,得一百八十零万四千七百零七度八十五分九十三秒七五,为益从方。半弧背一度倍之,得二度,以乘径得二百四十三度五十分,为下廉。初商八十秒。置初商八十秒乘上廉一万四千八百二十三度零六二五,得一百一十八度五八四五,以减益从方一百八十零万四千七百零七度八五九三七五,余一百八十零万四千五百八十九度二七四八七五,为从方。又置初商八十秒自之,得六十四微,以减下廉余二百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之,得一度九四七九九九四八八,为从廉。以从廉、从方并之,共得一百八十零万四千五百九十一度二二二八七四四八八,为下法。下法乘初商,得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四,以减正实,余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二秒。置初商八十秒倍之,得一分六十秒。加次商二委六十二秒,乘上廉一万四千八百二十三度零六二五,得二百四十零度一三三六一二五,以减益从方,余一百八十零万四千四百六十七二五七六二五,为从方。又置初次商八十二秒自之,得六十七微。加初商八十秒自之之数,得一秒三十一微,以减下廉,余二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之,得三度九十四分四六九七八七七八,为从廉。以从廉、从方并,得一百八十零万四千四百七十一度六十七分零四六零三七八,为下法。下法乘次商,得三百六十零度八九四三三四零九二零七五五六,以减余实,仍余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。(不足一秒叶不用,下同。)

凡求得矢度八十二秒,余度各如上法,求到矢度,以为黄赤相求及其内外度之根。(数详后。)

▲黄赤道差

求黄赤道各度下赤道积度术。

置周天半径内减去黄道矢度,余为黄赤道小弦。置黄赤道小弦,以黄赤道大股乘之(大股见割圆)为实。黄赤道大弦(半径)为法。实如法而一,为黄赤道小股。直黄道矢自乘为实,以周天全径为法,实如法而一,为黄道半背弦差。以差去减黄赤道积度,(即黄道半弧背。)余为黄道半弧弦。置黄赤道半弧弦自之为股幕,黄赤道小股自之为句幕,二幕并之,以开平方法除之,为赤道小弦。置黄赤道半弧弦,以周天半径(亦为赤道大弦)乘之为实,以赤道小弦为法而一,为赤道半弧弦。置黄赤道小股,(亦为赤道横小句)以赤道大弦(即半径)乘之为实,以赤道小弦为法而一,为赤道横大句,以减半径,余为赤道磺弧矢。横弧矢自之为实,以全径为法而一,为赤道半背弦差。以差加赤道半弧,为赤道积度。

如黄道半弧背一度,求赤道积度。术曰:“置半径六十零度八十七分五十秒,(即黄赤道大弦。)内减黄道矢八十二秒余六十零度八六六八,为黄赤道小弦。置黄赤道小弦,以黄赤道大股五十六度零二六八乘之,得三千四百一十零度一七二零三零二四为实,以黄赤道大弦六十零度八七五为法,实如法而一,得五十六度零一分九十二秒,为黄赤道小股。(又为赤道小句。)置矢度八十二秒自之,得六十七微,以全径一百二十一度七五为法,除之得五十五纤,为黄道平半背弦差。置黄道半弧弦一度,内减黄道半背弦差,余为半弧弦,因因差在微以下不减,即用一度为半弧弦。置黄道半弧弦一度自之,得一度为股幕。黄赤道小股五十六度零一矣二自之,得三千一百三十八度一五零七六八六四为句幕。二幕并得三千一百三十九度一五零七六八六四为弦实,平方开之,得五十六度零二八一,为赤道小弦。置黄道半弧弦一度,以半径(即赤道大弦)乘之,得六十零度八七五为实,以赤道小股五十六度零二八一为法除之,得一度零八分六十五秒,为赤道半弧弦。置黄赤道小股五十六度零一九二,(又为赤道小句。)以赤道大弦(半径)六十零度八七五乘之,得三千四百一十零度一六八八为实,以赤道小弦为法除之,得六十零度八十六分五十三秒,为赤道横大句。置半径六十零度八十七分五十秒,内减赤道大句六十零度八十六分五十三秒,余九十七秒,为赤道横弧矢。置赤道横弧矢九十七秒自之,得九十四微零九,以全径为法除之,得七十纤,为赤道背弦差。置赤道半弧弦一度零八分六十五秒,加赤道背弦差,为赤道积度,今差在微已下不加,即用半弧弦为积度。

凡求得赤道积度一度零八分六十五秒。余度各如上法,求到各黄道度下赤道积,两数相减,即得黄赤道差,乃至后之率。其分后,以赤道度求黄道,反此求之,其数并同。

▲黄赤道相求弧矢诸率立成上

(表格略)

▲黄赤道相求弧矢诸率立成下

(表格略)

按郭敬创法五端,内一曰黄道差,此其根率也。旧法以一百一度相减乘。《授时》立术,以句股、弧矢、方圆、斜直所容,求其数差,合於浑象之理,视古为密。顾《至元历经》所载略,又误以黄道矢度为积差,黄道矢差为率,今正之。

▲割圆弧矢图

凡浑圆中剖,则成平圆。任割平圆之一分,成弧矢形,皆有弧背,有弧弦,有矢。剖弧矢形而半之,则有半弧背,有半弧弦,有矢。因弦矢句股形,以半弧弦为句,矢减半径之余为股,半径为弦。句股内成小句股,则有小句、小股、小弦、而大小可互求,平侧可互用,浑圆之理,斯为密近。

平者为赤道,斜者为黄道。因二至黄道赤之距,生大句股。因各度黄赤之距,生小句股。

外大圆为赤道。从北极平视,则黄道在赤道内,有赤道各度,即各有其半弧弦,以生大名股。又各有其相当之黄道半弧弦,以生小句股。此二者皆可互求。

按旧史无图,然表亦图之属也。今句股割弧矢之法,实为历家测算之本。非图不明,因存其要者数端。

▲黄赤道内外度

推黄道各度,距赤道内外及去极远近术。置半径内减去赤道小弦,余为赤道二弦差。(又为黄赤道小弧矢,又为内外矢,又为股弦差。)置半径内外减去黄道矢度,余为黄赤道小弦,以二至黄赤道内外半弧弦乘之为实,以黄赤道大弦为法,(即半径。)除之为黄赤道小弧弦。(即黄赤道内外半弧弦,又为黄赤道小句。)置黄赤道小弧矢自之,(即赤道二弦差。)以全径除之,为半背弦差。以差加黄赤道小弧弦为黄赤道小弧半背,即黄赤道内外度。置黄赤道内外度,视在盈初缩末限以加,在缩初盈天限以减,皆加减象限度,即各得太阳去北极度分。

如冬至后四十四度,求太阳去赤道内外及去极度。术曰:“置半径六十零度八十七分半,内减黄道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒,余二度五十一分八十一秒,为黄赤道小弧矢。(即内外矢。)置半径六十零度八七五,内减黄道四十四度,矢一十六度五十六分八十二秒,余四十四三十零分六十八秒,为黄赤道小弦。置黄赤道小弦,以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分乘之,得一千零五十零度五十一分四二三八为实,以黄赤道大弦六十零度八七五为法除之,得一十七度二十五分十九秒为黄赤道小弧弦。(即内外半弧弦。)置黄赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之为实,以全径地百二十一度七十五分除之,得五分二十一秒为背弦差,以差加黄赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒,得一十七度三十零分八十九秒,为二至前后四十四度,太阳去赤道内外度。置象限九十一度三十一分四十三秒七五,以内外度一十七度三零八九加之,得一百零八度六十二分三十二秒七五,为冬至后四十四度太阳去北极度。

▲黄道每度去赤道内外及去北极立成

(表格略)

▲白道交周

推白赤道正交,距黄赤道正交北极数。术曰:“置实测白道出入黄道内外六度为半径弧弦,又为大图弧矢,又为股弦差。置半径六十零度七五自之,得三千七百零五度七六五六二五,以矢六度而一,得六百一十七度六十三分为股弦和,加矢六度,共六百二十三度六十三分为大圆径。依法求得容阔五度七十分,又为小句。又以二至出入半弧弦二十三度七十一分为大句。以大句为法,除大股五十六度零六分五十秒,得二度三十七分(就整)为度差。以度差乘小句,得小股一十三度四十七分八十二秒,为容半长。置半径六十零度八七五为大弦,以乘小句五度七十分为实,以大句二十三度七十一分为法除之,得一十四度六十三分为小弦,又为白赤道正交,距黄赤道正交半弧弦。

依法求行半弧背一十四度六十六分,为白赤道正交距黄赤道正交极娄数。

《明史·卷八》译文及注释

制定历法的人各有自己的渊源,史书应该详尽采录,使后世有参考的依据。

如《太初历》起源于音律,《大衍历》发端于蓍卜,都详细见于本历志。

《授时历》以测量检骏推算焉宗旨,祇求与天相合,不牵强附会音律、卦爻。

然而它立法的依据.数据的出处,以及日晷影长、行星度数,都有完整的书籍。

郭守堃、查履谦的传中,有书名可考。

《元史》全没有采录,现仅存奎盏的《议录》、《历经》的初稿。

后来改变三应率及数据表的数据,和割圆弧矢的方法、平立定三差的来源,都删去没有记载。

使作者的精辟见解湮汝无闻,有见识的人都为此感到道憾。

现在根据《大统历通轨》及《历草》等书,稍加编排,首先是历法原理,其次是数据表,再其次是推算。

而历法原理的细目有七项,是勾股测望,弧矢割圆,黄赤道差,黄赤道内外度,白道交周,日月五星平立定三差,里差刻漏。

在北京立四丈高的标尺,冬至日正午,测得影长七丈九尺八寸五分。

随即用简仪测得太阳南至地平二十六度四十六分半,焉半弧背。

求得矢度为五度九十一分半。

将周天半径,减去矢度,剩余五十四度九十六分为股,就是本地离头顶上太阳的度数。

用以弦股求勾的方法,求得勾为二十六度十七分六十六秒,就是太阳出地的半弧弦。

在北京立四丈高的标尺,夏至日正午,测得影长一丈一尺七寸一分。

随即用简仪测到太阳南至地平七十四度二十六分半,为半弧背。

求得矢度为四十三度七十四分又四分之一。

将周天半径,减去矢度,剩下十七度十三分二十五秒焉勾,就是本地离头顶上太阳的度数。

用以勾弦求股的方法,求得股为五十八度四十五分半,就是太阳出地的半弧弦。

将冬至夏至太阳南至地平的度数相加,得一百度七十三分,折半得五十度三十六分半,为北京的赤道出地度数。

以赤道出地度转减周天的四分之一,余四十度九十四分九十三秒七十五微,就是北京的纬度。

周天圆的直径为一百二十一度七十五分又四分之一。

四分之一不用。

半径为六十度八十七分半。

又是黄道赤道的大弦。

冬至夏至黄道赤道内外半弧背为二十四度。

所测敷取整数。

冬至夏至黄道赤道弧矢为四度八十四分八十二秒。

黄道赤道大勾为二十三度八十分七十秒。

黄道床道大股为五十六度零二分六十八秒。

半径内减去矢度。

割圆求矢的方法。

将半弧背的度数自乘,就是半弧背的幂。

将周天圆的直径自乘,就是上廉。

上廉乘半弧背的幂,就是正实。

上廉乘以天圆直径,就是益从方。

半弧背乘以二,乘以天圆直径,就是下廉。

用初商乘上廉,再用益从方减去这个得数,余数就是从方。

将初商自乘并用下廉减自乘的得数,余数乘以初商,就是从廉。

从方和从廉相加,就是下法。

下法乘以初商,再用正寅减去此数,如正赏不够减,就改用初商。

正实还有余数,依次用商除下去。

将初商乘以二,与次商相加并乘以上廉,再用益从方减去乘积,余数为从方。

将初商和次商相加并自乘,又将初商自乘,然后两数相加,再用下廉城此数,余数用初商的二倍加次商舆之相乘,就是从廉。

从方和从廉相加,就是下法。

下法乘以次商,再用余实碱此数,从而确定次商。

如还有余数,用同样的方法计算,商的得敷就是矢的度数。

黄道赤道同用这一度数。

例如以半弧背一度来求矢的度数。

方法是:将半弧背一度自乘,得敷为一度,是半弧背的幂。

将天圆直径一百二十一度又四分之三自乘,得一万四千八百二十三度零六分二十五秒,就是上廉。

上廉乘以半弧背的幂,得一万四千八百二十三度零六分二十五秒,就是正实。

上廉又乘天圆直径,得一百八十万四千七百零七度八十五分九十三秒七五,就是益从方。

半弧背一度加倍,得二度,乘以天圆直径得二百四十三度五十分,就是下廉。

初商八十秒。

将初商八十秒乘以上廉一万四千八百二十三度零六二五,得一百一十八度五八四五,再用益从方一百八十万四千七百零七度八五九三七五减此数,余一百八+葛四千五百八十九度二七四八七五,就是从方。

又将初商八十秒自乘,得六十四微,再用下廉减此敷,余二百四十三度四九九九三六。

仍然用八十秒乘此余数,得一度九四七九九九四八八,就是从廉。

将从廉和从方相加,共得一百八十万四千五百九十一度二二二八七四四八八,就是下法。

下法乘以初商,得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四,再用正实藏去此数,得余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。

次商二秒。

将初商八十秒加倍,得一分六十秒。

加次商二秒,得一分六十二秒,乘以上廉一万四千八百二十三度零六二五,得二百四十度一三三六一二五,再用益从方减此数,余一百八十万四千四百六十七度七二五七六二五,就是从方。

又将初商和次商八十二秒自乘,得六十七微。

加上初商八十秒自乘之数,得一秒三十一微,用下廉减此敷,余二百四十三度四九九八六九。

乘以前面所得到的一分六十二秒,得三度九十四分四六九七八七七八,就是从廉。

将从廉和从方相加,得一百八十万四千四百七十一度六十七分零四六零三七七八,就是下法。

将下法乘以次商,得三百六十度八九四三三四零九二零七五五六,用余实减此敷,还余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。

不足一秒舍弃不用,以下同。

求得矢的度数共八十二秒,剩余部分继续用上列方法计算。

求得矢的度数,作为黄道赤道相求及求二者内外度的根。

数据详见后文。

求黄道各度之下赤道度数的方法。

将天圆的半径减去黄道矢的度数,余数焉黄道赤道的小弦。

将黄道赤道的小弦,乘以黄道赤道的大股大股见弧矢割圆作为被除数。

黄道赤道的大弦天圆半径作为除数。

两数相除,就是黄道赤道的小股。

将黄道的矢自乘作为被除数,以天圆的直径作为除数,两数相除,就是黄道半背弦差。

用黄道积度即黄道半弧背减这个差,余数就是黄道半弧弦。

将黄道半弧弦自乘作为股的幂,黄道赤道小股自乘作为勾的幂,两个幂相加,开平方,就是赤道小弦。

将黄道的半弧弦,乘以天圆的半径也是赤道大弦作为被除数,以赤遒小弦作为除数与之相除,就是赤道的半弧弦。

将黄道赤道的小股,也是赤道的横小勾。

用赤道大弦即半径相乘作为被除数,以赤道小弦作为除数与之相除,就是赤道横大勾,再用半径减赤道横大勾,余数就是赤道横弧矢。

将横弧矢自乘作为被除数,以直径作为除数与之相除,就是赤道的半背弦差。

以半背弦差加赤道半弧弦,就是赤道的度数。

如黄道半弧背为一度,求赤道的度数。

方法是:将半径六十度八十七分五十秒,即黄道赤道大弦。

黄道的矢八十二秒,余六十度八六六八,就是黄道赤道小弦。

将黄道赤道小弦,乘以黄道赤道大股五十六度零二六八,得三千四百一十度一七二零三零二四作为被除数,以黄道赤道大弦六十度八七五作为除数,两敷相除,得五十六度零一分九十二秒,就是黄道赤道的小股。

又是赤道小勾。

将矢的度数八十二秒自乘,得六十七微,以天圆直径一百二十一度七五作为除数,舆之相除得五十五纤,就是黄道半背弦差。

将黄道半弧背一度,减黄道半背弦差,余数就是半弧弦。

因半背弦差在一微以下,所以不减,就用一度作为半弧弦。

将黄道半弧弦一度自乘,得一度作为股的幂。

黄道赤道小股五十六度零一九二自乘,得三千一百三十八度一五零七六八六四作为勾的幂。

两个幂相加得三千一百三十九度一五零七六八六四焉弦实,开平方,得五十六度零二八一,就是赤道小弦。

将赤道半弧弦一度,乘以天圆半径,即赤道大弦。

得六十度八七五作为被除数,以赤道小弦五十六度零二八一作为除敷相除,得一度零八分六十五秒,就是赤道的半弧弦。

将黄道赤道的小股五十六度零一九二,又是赤道小勾。

乘以赤道大弦天圆半径六十度八七五,得三千四百一十度一六八八作为被除数,以赤道小弦作为除数相除,得六十度八十六分五十三秒,就是赤道横大勾。

将天圆半径六十度八十七分五十秒,减赤道大勾六十度八十六分五十三秒,余九十七秒,就是赤道横弧矢。

将赤道横弧矢九十七秒自乘,得九十四微零九,再以天圆直径作除数舆之相除,得七十七纤,就是赤道背弦差。

将赤道半弧弦一度零八分六十五秒,加赤道背弦差,就是赤道的度数。

现在赤道背弦差在一微以下,舍弃不加,就用半弧弦作为度数。

共求得赤道度数为一度零八分六十五秒。

其余度数各自用上面的方法,求到各黄道度数下的赤道度数,两敷相减,就得到黄道赤道差,这是冬至夏至后的比率。

春分秋分以后,以赤道度数求黄道,反过来相求,数据都相同。

按郭守敬创立的新方法有五条,其中一条是黄道赤道差,这就是它的数据。

旧方法用一百零一度相减相乘。

《授时历》创立新方法,用勾股、弧矢、方圆、斜直所包含的内容,推求黄道赤道的差敷,合乎天象的原理,比古代更严密。

只是《至元历经》的记载很筒略,又误以黄道矢度为积差,黄道矢差为差率,现在予以纠正。

凡是圆周从中间剖开,就成了半圆。

任意切分半圆的一部分,就成了弧矢形,都有弧背,有弧弦,有矢。

切分出弧矢形的一半,就有半弧背,有半弧弦,有矢。

因为弦和矢就生出勾股形,以半弧弦焉勾,半径减矢的余数为股,半径为弦。

勾股内又形成小勾股,就有小勾、小股、小弦,而大小可以互相推求,平侧可以互相利用,圆周的道理,这就很切近了。

平线是赤道,斜线是黄道。

因为冬至夏至黄道赤道的距离,生出大勾股。

因为各度黄道赤道的距离,生出小勾股。

外面的大圆是赤道。

从北极俯视,黄道在赤道之内,有赤道的各度,就有各度的半弧弦,以此生出大勾股。

又各有舆它们相应的黄道半弧弦,以此生出小勾股。

这二者可以互相推求。

按旧史书没有图,然而表也是和圆同类的。

现在勾股割圆弧矢的方法,实在是历算家测算的根本。

没有图不能说明问题,因而保留其重要的几幅。

推算黄道各度距离赤道的内外度数及距离北极远近的方法。

将天圆半径减去赤道小弦,余敷就是赤道两个弦的差。

又是黄道赤道小弧的矢,又是内外矢,又是股弦差。

将半径减去黄道矢的度数,余数就是黄道赤道的小弦。

将冬至夏至黄道赤道内外半弧弦舆黄道赤道小弦相乘作为被除数,以黄道赤道大弦作为除数,即半径。

舆之相除就是黄道赤道小弧弦。

就是黄道赤道内外半弧弦,又是黄道赤道小勾。

将黄道赤道小弧矢自乘,即赤道两弦的差。

除以直径,就是半背弦差。

用这个差加黄道赤道小弧弦就是黄道赤道小弧半背,也就是黄道在赤道内外的度数。

根据黄道在赤道内外的度数,如果在盈初缩末象限表内就加,在缩初盈末象限表内就减,都加减象限表内的度数,就得到太阳距离北极的度数。

如冬至后黄道四十四度,求太阳距离赤道内外的度数及距离北极的度数。

方法是:将天圆半径六十度八十七分半,减黄道四十四度时赤道小弦五十八度三十五分六十九秒,余二度五十一分八十一秒,就是黄道赤道小弧矢。

即内外矢。

将半径六十度八七分半,减黄道四十四度时的矢一十六度五十六分八十二秒,余四十四度三十分六十八秒,就是黄道赤道小弦。

将黄道赤道小弦,用冬至夏至时黄道赤道内外半弧弦二十三度七十一分舆之相乘,得一千零五十度五十一分四二三八作为被除数,以黄道赤道大弦六十度八七五作为除数舆之相除,得十七度二十五分六十九秒,即黄道赤道小弧弦。

即内外半弧弦。

将黄道赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自乘作为被除数,用直径一百二十一度七十五分与之相除,得五分二十一秒就是背弦差。

用背弦差加黄道赤道小弧弦十七度二十五分六十九秒,得十七度三十分八十九秒,就是冬至夏至前后黄道四十四度时,太阳距离赤道的内外度。

将象限九十一度三十一分四十三秒七五,加内外度十七度三零八九,得一百零八度六十二分三十二秒七五,就是冬至后黄道四十四度时太阳距离北极的度数。

推算白道和赤道的降交点距离黄道赤道降交点的最大数值。

方法是:将寅测到的白道出入黄道内外的六度作为半弧弦,又是大圆的弦矢,又是股和弦的差。

将半径六十度八七五自乘,得三干七百零五度七六五六二五,用矢六度与之相除,得六百一十七度六十三分为股弦的和,再加矢六度,共六百二十三度六十三分,就是大圆直径。

按法则求得容阔五度七十分,又是小勾。

又以冬至夏至时出入半弧弦二十三度七十一分作为大勾。

以大勾作除数,除大股五十六度零六分五十秒,得二度三十七分就整敷而言为度差。

以度差乘小勾,得小股十三度四十七分八十二秒,就是容半长。

以半径六十度八七五焉大弦,乘以小勾五度七十分作为被除数,以大勾二十三度七十一分焉除数舆之相除,得十四度六十三分就是小弦;又是白道赤道降交点距离黄道赤道降交点的半弧弦。

按法则求得半弧背十四度六十六贫,就是白道赤道降交点距离黄道赤道降交点的最大敷值。

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《明史》